Die Sprache des Universums, Teil I

Nachdem wir über das Periodensystem der Elemente einen Einstieg in die faszinierende Welt der Chemie gefunden haben, muss ich nun einen Exkurs einschieben. Galileo Galilei schrieb in Saggiatore über das Universum:

Es ist in der Sprache der Mathematik geschrieben, und deren Buchstaben sind Kreise, Dreiecke und andere geometrische Figuren, ohne die es dem Menschen unmöglich ist, ein einziges Wort davon zu verstehen; ohne diese irrt man in einem dunklen Labyrinth herum.

Auch in der Chemie ist vieles ohne mathematische Ausdrücke nur rudimentär behandelbar. Man kann zwar auch über qualitative Untersuchungen Erkenntnisse gewinnen, aber viele Bereiche bleiben dabei unklar und mysteriös. Zudem lassen sich aus quantitativen Daten durch Vergleiche leicht qualitative Aussagen treffen, während es umgekehrt problematisch ist.
Es ist korrekt, dass Stoffdaten und ähnliches auch ohne das Verständnis mathematischer Formeln erfass- und vergleichbar sind. Aber das Erkennen und Beschreiben von Gesetzmäßigkeiten besitzt gegenüber Eins-zu-eins-Vergleichen ein noch weitaus tiefer greifenderes Potential. Zudem sind einige der Stoffdaten bereits von sich aus mit mathematischen Feinheiten behaftet. So ist auch der in nicht wissenschaftlichen Kreisen bekannte pH-Wert eine logarithmische Einheit, d. h. eine Erhöhung um eins entspricht (in dem Fall) einer Verzehnfachung der damit ausgedrückten natürlichen Größe.
Der Grund für den Einsatz solcher Werkzeuge ist, dass man in der Chemie mit sehr großen und sehr kleinen Zahlen konfrontiert wird, zum Teil gleichzeitig. Wenn ein Atom nur ein Millionstel Millionstel eines Zentimeters groß ist, dann passen in einen Stecknadelkopf im Umkehrschluss Millionen Millionen Millionen Millionen Atome.1

Populärwissenschaftliche Bücher und meist auch Blogs schrecken meist vor dem Einsatz von Formeln zurück. Doch ich finde, dass eine offene Darstellung einen noch besseren Einblick in der Arbeitsweise von Naturwissenschaftlern ermöglicht. Ich werde mich in Blogartikeln, in denen Formeln vorkommen, bemühen, diese allgemein verständlich zu erklären und zudem den Text so zu strukturieren, dass er auch beim Überspringen der Berechnung inhaltlich nachvollziehbar ist – solange man die Ergebnisse als gegeben hinnimmt.
Für jene, die an den Berechnungen interessiert sind, sollen noch einige Artikel über die mathematischen Werkzeuge folgen, die verwendet werden. Dabei wird hauptsächlich Schulstoff bis zur 13. Klasse behandelt. Auch den weniger Interessierten empfehle ich, zumindest den Rest dieses Artikels und folgenden Teil II noch zu lesen, da sie die Darstellung der oben genannten sehr großen und sehr kleinen Zahlen behandeln. Wer sich mit Potenzen, Exponentialschreibweisen, Logarithmen und der e-Funktion bereits auskennt, kann die beiden Texte aber auch überspringen.

Vom Großen und Kleinen

Wenn man die verschiedenen Rechenarten vergleicht, so lassen sich einige als kompakte Formen von anderen darstellen. Die Multiplikation ist etwa eine Abkürzung, wenn mehrere (identische) Zahlen miteinander addiert werden.

    \[\overbrace{4+4+4+4+4+4+4+4}^8 = 4 \cdot 8 = 32\]


Dasselbe Prinzip lässt sich auf die Multiplikation übertragen. Dadurch erhält man die Potenzen, die für die Darstellung großer und kleiner Zahlen sehr nützlich sind.

    \[\overbrace{4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4}^8 = 4^8 = 65536\]

Die 4 im letzten Beispiel wird als Basis bezeichnet, die hochgestellte 8 als Exponent. Man spricht das Ergebnis als “vier hoch acht” aus.


Üblicherweise werden Potenzen zur Basis 10 angegeben, weil darauf unser alltägliches Zahlensystem fußt und es im Grunde nur eine Verschiebung der Kommastelle darstellt. Der Exponent gibt dann an, um wieviele Stellen das Komma nach rechts (positiver Exponent) oder nach links (negativer Exponent) verschoben wird. Dabei gibt es noch eine Besonderheit: Ist der Exponent 0, dann ist die beschriebene Zahl unabhängig von der Basis immer 1. Als einfaches Beispiel nehmen wir eine Million:

    \[1000000 = \overbrace{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}^6 = 1 \cdot 10^6\]

Die 1 im letzten Ergebnis könnte man auch weglassen, aber da an der Stelle später die eigentlich interessanten Zahlen stehen, habe ich sie hier bereits eingeführt.


Für Zahlen kleiner 1 ist die Rechnung schlechter verständlich, aber durch das Verschieben der Kommastelle genauso einfach durchführbar. Diesmal gezeigt an einem Millionstel:

    \begin{align*}0,000001 &= \overbrace{0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1}^6 \\ &= \overbrace{10^{-1} \cdot 10^{-1} \cdot10^{-1} \cdot 10^{-1} \cdot 10^{-1} \cdot 10^{-1}}^6 \\ &= 1 \cdot 10^{-6}\end{align*}

Hier wurde noch ein weiterer Schritt eingefügt, um die Umformung deutlicher zu machen.


Nun können damit auch Zahlen entziffert werden, die aus mehr als einer Eins und vielen Nullen bestehen. Nehmen wir etwa die Masse der Erde:

    \begin{align*}\SI{5,974e24}{\kilogram} &= 5,974 \, \cdot \, \overbrace{10 \cdot 10 \cdot \mathellipsis \cdot 10}^{24} \si{\kilogram} \\ &= \SI{5974000000000000000000000}{\kilogram}\end{align*}

Man beachte, dass es “nur” 21 Nullen sind. Die drei übrigen Stellen sind durch die Ziffern 9, 7 und 4 abgedeckt. Aus diesem Beispiel wird auch deutlich, warum man gern auf die Exponentialschreibweise zurückgreift. Sie verkürzt die Angabe, ohne dass Informationen verloren gehen.


Als Kleinstbeispiel sei noch das Plancksche Wirkungsquantum2 erwähnt:

    \[\SI{6,626e-34}{\joule\second} = \SI{0,0000000000000000000000000000000006626}{\joule\second}\]


Als letztes sei noch auf eine zusätzliche Schreibweise hingewiesen, die besonders bei Taschenrechnern und in Computerprogrammen auftritt. Vermutlich weil eine Schreibweise mit Hochstellung sich nicht immer anbietet, wird der Exponent dort mit einem E oder e angegeben. Dabei wird stillschweigend vorausgesetzt, dass die Basis 10 ist. Die Masse der Erde wäre dann 5,974E24 oder das Plancksche Wirkungsquantum 6,626E-34. Das E könnte in beiden Fällen auch als e geschrieben sein.

Damit wäre die Einführung der Zehnerpotenzen abgeschlossen. Ursprünglich wollte ich die weiteren wichtigen Themen bereits in diesem Artikel abarbeiten. Doch da der Artikel bereits eine akzeptable Länge besitzt und ich für die weiteren Inhalte noch etwas weiter ausholen muss, verschiebe ich es in einen zweiten Teil. Es folgen noch Logarithmen und die e-Funktion, die eine Potenz zu einer anderen Basis als der 10 darstellt und auch häufig in den Naturwissenschaften auftritt.

  1. Diese Rechnung wird an passender Stelle gezeigt.
  2. Dieser Wert wird zukünftig noch häufiger auftauchen.

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