Die Sprache des Universums, Teil II

Im ersten Teil wurden die Potenzen zur Basis 10 behandelt. Im Anschluss daran sollen nun eine weitere häufig verwendete Basis sowie die Umkehrung der Exponentialangaben vorgestellt werden.

Ich kaufe ein e

Eine bei der Beschreibung natürlicher Prozesse immer wieder auftretende Größe ist die Eulersche Zahl:

    \[e = 2,71828 \dots\]

Wie bei der Kreiszahl \pi handelt es sich bei ihr um eine sogenannte irrationale Zahl. Sie besitzt also unendlich viele Nachkommastellen, die sich nicht wiederholen,1 und hat ein paar mathematische Besonderheiten, auf die ich hier jedoch nicht genauer eingehen möchte.

Wichtig ist, dass man sie genauso gut zur Basis nehmen kann wie die 10:

    \[e^4 = \overbrace{e \cdot e \cdot e \cdot e}^4 = 54,598150 \dots\]

Die Berechnung ist hier aufwändiger als bei der Basis 10. Das liegt vor allem daran, dass wir weiterhin das übliche Zehnersystem zur Darstellung der Zahlen verwenden. Abkürzungen wie das Verschieben des Kommas fallen damit weg, aber die Berechnung über das mehrfache Multiplizieren der Basis funktioniert weiterhin.


Eine alternative Schreibweise gibt denselben Sachverhalt auf andere Weise an.2 Entscheidend ist hier, dass der beschriebene Wert derselbe ist wie oben:

    \[e^4 = \exp \left( 4 \right) = 54,598150 \dots\]

Das einfache e ist dem Schriftzug \exp gewichen und der Exponent \left( 4 \right) ist nicht mehr hochgestellt, sondern steht in Klammern hinter dem \exp.

Auf Biegen und Brechen

In den bisherigen Beispielen waren die Exponenten immer ganze Zahlen wie 4, 12 oder -34. Damit lassen sich bestimmte Zahlen zu einer beliebigen Basis in Potenzform darstellen. Doch zwischen 10^3 und 10^4 liegen bekanntlich noch viele weitere Zahlen, etwa 3284. Man kann sich, wie bis hierher gezeigt, mit Vorfaktoren helfen und erhält zum Beispiel 3,284 \cdot 10^3. Aber es geht auch anders.

Besagte 3284 liegt zwischen 10^3 und 10^4. Und zwischen den Exponenten 3 und 4 liegen auch Zahlen, nämlich die gebrochenen Zahlen, die mit 3,\cdots anfangen. Et voilà, schon ergibt sich eine weitere Darstellungsform. Leider versagt hier die Analogie, dass man die Basis nur soundso oft mit sich selbst multipliziert – zumindest kann man es sich für den letzten Faktor nicht gut vorstellen (es sind folgend nicht alle Nachkommastellen des Exponenten angegeben):

    \[3284 = \overbrace{10 \cdot 10 \cdot 10 \, \cdot \, ? \,}^{3,5164\dots} = 10^{3,5164\dots}\]

Ein (Taschen)Rechner hat mit derlei Angaben keine Probleme. Gibt man 10^{3,5164\dots} (mit möglichst allen Nachkommastallen) ein, so gibt er 3284 aus. Wie er das genau macht, würde an dieser Stelle zu weit führen, aber die Tatsache, dass man alle Zahlen auch ohne Vorfaktoren darstellen kann, bietet weitere Möglichkeiten für kürzere Schreibweisen. Schließen wir diesen Abschnitt noch mit zwei alten Beispielen: Die Masse der Erde aus dem ersten Teilartikel lässt sich auch angeben als:

    \[5,974 \cdot 10^{24} \, \si{\kilogram} = 10^{24,7763} \, \si{\kilogram}\]

Auch wenn man aus dem Exponenten nicht auf die genaue Zahl schließen kann, so erkennt man doch, dass sie zwischen 10^{24} und 10^{25} liegen muss.


Dasselbe Spiel lässt sich auch mit der Basis e treiben. Nehmen wir diesmal das andere Beispiel des vorigen Artikels, das Plancksche Wirkungsquantum:

    \[6,626 \cdot 10^{-34} \, \si{\joule \second} = \exp \left( -76,3969 \right) \, \si{\joule \second}\]

Lasst euch von der Einheit \si{\joule\second} nicht irriteren, es geht erstmal nur um die Zahl selbst. Und wie schon zuvor kann man aus dem gebrochenen Exponenten schließen, dass die Zahl zwischen \exp \left(-76 \right) und \exp \left( -77 \right) liegt. Zugegeben, das sagt einem hier wenig, da die Basis diesmal e ist, aber das grundlegende Prozedere dürfte damit klar sein. Und es zeigt ebenfalls, dass die Wahl der Basis nicht so wichtig ist, denn man kann sich die Zahl wieder in beliebiger Form ausrechnen.

Auf dem Absatz kehrt

Was soll nun dieses Jonglieren mit Zahlen? Schön und gut, man kann sich einen Faktor sparen, indem man dem Exponenten Nachkommastellen spendiert, aber warum eigentlich?
Vor allem bei der Basis e würde ein Vorfaktor für die Darstellung von Zahlen gar nichts bringen. Einzig mit der Basis 10 ergibt sich eine Logik, da unser Zahlensystem ja ebenfalls 10 als Basis hat. Und dort wird der Vorfaktor auch häufig verwendet.

Der andere Punkt führt über die Umkehrung des Potenzierens. Die Subtraktion kehrt die Addition um und die Division ist die Umkehrung der Multiplikation. Im Fall der Potenzen heißt das Stichwort Logarithmus. Durch Logarithmieren kommt man überhaupt erst zu den gebrochenen Exponenten, die ich oben gezeigt habe. Man stellt im Grunde die Frage: “Welcher Exponent ergibt zu einer bestimmten Basis die gewünschte Zahl?” Oder als Gleichung, wieder für die Masse der Erde:

    \[\log_{10} \left( 5,974 \cdot 10^{24} \right) \, \si{\kilogram} =  \SI{24,7763}{\kilogram}\]

Das ist genau die Zahl, die ich oben als Exponent angegeben habe. Die Angabe \log zeigt an, dass logarithmiert wird und die tiefgestellte 10 gibt die Basis an, für die der Exponent gesucht wird. In Klammern steht dann die Zahl, die ausgedrückt werden soll. Man spricht es: “Logarithmus zur Basis 10 von (5,974 mal 10 hoch 24)”


Für eine andere Basis ergibt es sich analog:

    \[\log_{e} \left( 6,626 \cdot 10^{-34} \right) \, \si{\joule \second} = \SI{-76,3969}{\joule \second}\]

Das war oben das zweite Beispiel.


Wie so oft, ist den Menschen eine so ausführliche Schreibweise immer noch zu lang. Und so wird die Basis 10 am Logarithmus meist weggelassen. Außerdem gibt es auch andere Logarithmusangaben, die implizit ihre Basis ausdrücken. Die typischen Darstellungen sind (die Zahl in Klammern ist hier beliebig):

    \begin{align*}\log_{10} \left( 1,234 \right) &= \log \left( 1,234 \right) = \lg \left( 1,234 \right) \\ \log_e \left( 1,234 \right) &= \ln \left( 1,234 \right)\end{align*}

Ich verwende normalerweise die jeweils letzten Darstellungen, also \ln und \lg,3 da sie kurz und dennoch eindeutig sind. Auch die gesprochene Form ist dann kürzer, z. B. “Logarithmus 1,234”, “log 1,234” oder buchstabiert “l g 1,234” bzw. “l n 1,234”.

Man erhält durch den Logarithmus also einen Exponenten, der eindeutig eine beliebige Zahl wiedergibt, solange man aus dem Kontext die Basis kennt. Es gibt einige Größen, die genau so definiert sind. Zum Beispiel den pH-Wert, der üblicherweise im Bereich zwischen 0 und 14 liegt, aber eigentlich eine Größe im Bereich von 10^0 = 1 bis 10^{-14} angibt, also in seiner Definition die Basis 10 bzw. den \lg beinhaltet.4 Mehr dazu dann im entsprechenden Artikel.

Damit wäre die aus meiner Sicht notwendige Einleitung in die wissenschaftliche Darstellung von Zahlen beendet. Wie angekündigt, wird es noch weitere mathematische Artikel geben, die sich allgemeiner mit Zahlenbereichen, Folgen, Reihen, Funktionen, dem Differenzieren und Integrieren beschäftigen. Sie sind kein Muss, aber können bei Interesse an den auftretenden Berechnungen das Verständnis fördern.

  1. Genauer: Irrationale Zahlen lassen sich nicht exakt durch einen Bruch ganzer Zahlen darstellen.
  2. Funktionen wie diese e-Funktion werden in späteren Artikeln genauer behandelt.
  3. Das “ln” steht übrigens für logarithmus naturalis, also den “natürlichen Logarithmus”. Das weist auch darauf hin, dass er oft bei der Beschreibung natürlicher Prozesse, z. B. bei der Halbwertszeit von radioaktiven Atomen eine Rolle spielt.
  4. Die Definition ist -\lg \left( c \left( \ce{H^+} \right) \right), bezieht sich also auf die Protonenkonzentration (positiv geladener Wasserstoff), wobei durch das Minus das Vorzeichen wechselt.

Weihnachtsstimmung im Ausverkauf

Als ich dieser Tage in der Stadt unterwegs war, um ein wenig Kram einzukaufen, tönte mir Weihnachtsmusik in kräftigen Wellen entgegen. Durch die verwinkelten Gassen Bremens verzerrt und halb von menschlichem Lärm überdeckt, klang “Merry Christmas” wie ein Parodie auf sich selber. Menschen quollen aus einem Laden, nur um sich in den nächsten hineinzustürzen. Der Geruch nach Zimt vermischte sich mit dem von Döner Kebap. Eine Obdachlose klammerte sich an ein Pappschild – “Ich habe Hunger”. Ein abgetrennter Elchskopf thronte über einem Bratwurst-Stand und schaukelte im Takt der Massen.

Es gibt wenige Dinge, bei denen ich strickt bin. Wenige Sachen, bei denen ich tatsächlich mal eine Linie fahre. Dazu gehört Weihnachten und der damit verbundene Ausverkauf einer Tradition. Wenn ab Oktober die Kürbisse aus dem Fenster fliegen und gegen Schoko-Weihnachtsmänner ausgetauscht werden, kann ich einfach nicht hingucken. Ich kaufe keine Weihachtsartikel vor dem ersten Advent und esse ebenso keine Lebkuchen solange die ach-so heilige Zeit noch nicht eingeläutet wurde. Nicht weil ich gläubig wäre, oder mir Weihnachten sonderlich viel bedeuten würde. Ich mochte die Familienfeiern als Kind nie sonderlich und Geschenke zu besorgen ist auch nicht gerade mein Fall. Aber es ist der enorme Konsumterror, der mich schon als Jugendlicher störte. Ich mochte die Stände mit Weihnachtsartikeln nicht, die schon im Spätherbst die Supermärkte verstopfte. Es zerstörte mir einen Teil der wenigen Vorfreude, die ich überhaupt besaß. Heute ist das nur extremer geworden. Jetzt wohne ich im Gegensatz zu früher direkt in einer Großstadt, umgeben von Konsumtempeln.  Früher hat mir der Troubel in den Kaufhäusern nichts ausgemacht, der Ausflug dorthin war für mich etwas besonderes. Aber nun, so häufig damit konfrontiert, springt mich jedes Werbeschild an als würde es mich persönlich beleidigen wollen. Ich komme damit nicht klar. Die Straßen sind überfüllt, und die Läden noch mehr. Jeder kauft, weil “kaufen” ja zu Weihnachten gehört. Die zahllosen Bettler, die nun scheinbar vermehrt die Bordsteinkanten säumen, wippen auf der Stelle um die Kälte zu vertreiben. Ich kann diesen Kontrast kaum verarbeiten, nur verdrängen.

Meine Tour durch die Geschäfte beendete ich vorzeitig, ohne ein Geschenk zu kaufen. In den Händen hielt ich nur eine Ausgabe der “Asphalt”, einer Straßenzeitung. Die erste die ich je gekauft habe. Mein Gewissen brauchte einen Ausgleich und der war für nur 1,60 zu haben. Die nötigen Weihnachtsgeschenke werden über Amazon bestellt.

“Nicht vergessen, am 6. Dezember ist Nikolaus!”, steht auf einem ein Werbeplakat für den Schoko-Shop Hussle am Bahnhof. Danke, ich hätte es vermutlich nicht gemerkt.