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Die Sprache des Universums, Teil II

Im ersten Teil wurden die Potenzen zur Basis 10 behandelt. Im Anschluss daran sollen nun eine weitere häufig verwendete Basis sowie die Umkehrung der Exponentialangaben vorgestellt werden.

Ich kaufe ein e

Eine bei der Beschreibung natürlicher Prozesse immer wieder auftretende Größe ist die Eulersche Zahl:

    \[e = 2,71828 \dots\]

Wie bei der Kreiszahl \pi handelt es sich bei ihr um eine sogenannte irrationale Zahl. Sie besitzt also unendlich viele Nachkommastellen, die sich nicht wiederholen,1 und hat ein paar mathematische Besonderheiten, auf die ich hier jedoch nicht genauer eingehen möchte.

Wichtig ist, dass man sie genauso gut zur Basis nehmen kann wie die 10:

    \[e^4 = \overbrace{e \cdot e \cdot e \cdot e}^4 = 54,598150 \dots\]

Die Berechnung ist hier aufwändiger als bei der Basis 10. Das liegt vor allem daran, dass wir weiterhin das übliche Zehnersystem zur Darstellung der Zahlen verwenden. Abkürzungen wie das Verschieben des Kommas fallen damit weg, aber die Berechnung über das mehrfache Multiplizieren der Basis funktioniert weiterhin.


Eine alternative Schreibweise gibt denselben Sachverhalt auf andere Weise an.2 Entscheidend ist hier, dass der beschriebene Wert derselbe ist wie oben:

    \[e^4 = \exp \left( 4 \right) = 54,598150 \dots\]

Das einfache e ist dem Schriftzug \exp gewichen und der Exponent \left( 4 \right) ist nicht mehr hochgestellt, sondern steht in Klammern hinter dem \exp.

Auf Biegen und Brechen

In den bisherigen Beispielen waren die Exponenten immer ganze Zahlen wie 4, 12 oder -34. Damit lassen sich bestimmte Zahlen zu einer beliebigen Basis in Potenzform darstellen. Doch zwischen 10^3 und 10^4 liegen bekanntlich noch viele weitere Zahlen, etwa 3284. Man kann sich, wie bis hierher gezeigt, mit Vorfaktoren helfen und erhält zum Beispiel 3,284 \cdot 10^3. Aber es geht auch anders.

Besagte 3284 liegt zwischen 10^3 und 10^4. Und zwischen den Exponenten 3 und 4 liegen auch Zahlen, nämlich die gebrochenen Zahlen, die mit 3,\cdots anfangen. Et voilà, schon ergibt sich eine weitere Darstellungsform. Leider versagt hier die Analogie, dass man die Basis nur soundso oft mit sich selbst multipliziert – zumindest kann man es sich für den letzten Faktor nicht gut vorstellen (es sind folgend nicht alle Nachkommastellen des Exponenten angegeben):

    \[3284 = \overbrace{10 \cdot 10 \cdot 10 \, \cdot \, ? \,}^{3,5164\dots} = 10^{3,5164\dots}\]

Ein (Taschen)Rechner hat mit derlei Angaben keine Probleme. Gibt man 10^{3,5164\dots} (mit möglichst allen Nachkommastallen) ein, so gibt er 3284 aus. Wie er das genau macht, würde an dieser Stelle zu weit führen, aber die Tatsache, dass man alle Zahlen auch ohne Vorfaktoren darstellen kann, bietet weitere Möglichkeiten für kürzere Schreibweisen. Schließen wir diesen Abschnitt noch mit zwei alten Beispielen: Die Masse der Erde aus dem ersten Teilartikel lässt sich auch angeben als:

    \[5,974 \cdot 10^{24} \, \si{\kilogram} = 10^{24,7763} \, \si{\kilogram}\]

Auch wenn man aus dem Exponenten nicht auf die genaue Zahl schließen kann, so erkennt man doch, dass sie zwischen 10^{24} und 10^{25} liegen muss.


Dasselbe Spiel lässt sich auch mit der Basis e treiben. Nehmen wir diesmal das andere Beispiel des vorigen Artikels, das Plancksche Wirkungsquantum:

    \[6,626 \cdot 10^{-34} \, \si{\joule \second} = \exp \left( -76,3969 \right) \, \si{\joule \second}\]

Lasst euch von der Einheit \si{\joule\second} nicht irriteren, es geht erstmal nur um die Zahl selbst. Und wie schon zuvor kann man aus dem gebrochenen Exponenten schließen, dass die Zahl zwischen \exp \left(-76 \right) und \exp \left( -77 \right) liegt. Zugegeben, das sagt einem hier wenig, da die Basis diesmal e ist, aber das grundlegende Prozedere dürfte damit klar sein. Und es zeigt ebenfalls, dass die Wahl der Basis nicht so wichtig ist, denn man kann sich die Zahl wieder in beliebiger Form ausrechnen.

Auf dem Absatz kehrt

Was soll nun dieses Jonglieren mit Zahlen? Schön und gut, man kann sich einen Faktor sparen, indem man dem Exponenten Nachkommastellen spendiert, aber warum eigentlich?
Vor allem bei der Basis e würde ein Vorfaktor für die Darstellung von Zahlen gar nichts bringen. Einzig mit der Basis 10 ergibt sich eine Logik, da unser Zahlensystem ja ebenfalls 10 als Basis hat. Und dort wird der Vorfaktor auch häufig verwendet.

Der andere Punkt führt über die Umkehrung des Potenzierens. Die Subtraktion kehrt die Addition um und die Division ist die Umkehrung der Multiplikation. Im Fall der Potenzen heißt das Stichwort Logarithmus. Durch Logarithmieren kommt man überhaupt erst zu den gebrochenen Exponenten, die ich oben gezeigt habe. Man stellt im Grunde die Frage: “Welcher Exponent ergibt zu einer bestimmten Basis die gewünschte Zahl?” Oder als Gleichung, wieder für die Masse der Erde:

    \[\log_{10} \left( 5,974 \cdot 10^{24} \right) \, \si{\kilogram} =  \SI{24,7763}{\kilogram}\]

Das ist genau die Zahl, die ich oben als Exponent angegeben habe. Die Angabe \log zeigt an, dass logarithmiert wird und die tiefgestellte 10 gibt die Basis an, für die der Exponent gesucht wird. In Klammern steht dann die Zahl, die ausgedrückt werden soll. Man spricht es: “Logarithmus zur Basis 10 von (5,974 mal 10 hoch 24)”


Für eine andere Basis ergibt es sich analog:

    \[\log_{e} \left( 6,626 \cdot 10^{-34} \right) \, \si{\joule \second} = \SI{-76,3969}{\joule \second}\]

Das war oben das zweite Beispiel.


Wie so oft, ist den Menschen eine so ausführliche Schreibweise immer noch zu lang. Und so wird die Basis 10 am Logarithmus meist weggelassen. Außerdem gibt es auch andere Logarithmusangaben, die implizit ihre Basis ausdrücken. Die typischen Darstellungen sind (die Zahl in Klammern ist hier beliebig):

    \begin{align*}\log_{10} \left( 1,234 \right) &= \log \left( 1,234 \right) = \lg \left( 1,234 \right) \\ \log_e \left( 1,234 \right) &= \ln \left( 1,234 \right)\end{align*}

Ich verwende normalerweise die jeweils letzten Darstellungen, also \ln und \lg,3 da sie kurz und dennoch eindeutig sind. Auch die gesprochene Form ist dann kürzer, z. B. “Logarithmus 1,234”, “log 1,234” oder buchstabiert “l g 1,234” bzw. “l n 1,234”.

Man erhält durch den Logarithmus also einen Exponenten, der eindeutig eine beliebige Zahl wiedergibt, solange man aus dem Kontext die Basis kennt. Es gibt einige Größen, die genau so definiert sind. Zum Beispiel den pH-Wert, der üblicherweise im Bereich zwischen 0 und 14 liegt, aber eigentlich eine Größe im Bereich von 10^0 = 1 bis 10^{-14} angibt, also in seiner Definition die Basis 10 bzw. den \lg beinhaltet.4 Mehr dazu dann im entsprechenden Artikel.

Damit wäre die aus meiner Sicht notwendige Einleitung in die wissenschaftliche Darstellung von Zahlen beendet. Wie angekündigt, wird es noch weitere mathematische Artikel geben, die sich allgemeiner mit Zahlenbereichen, Folgen, Reihen, Funktionen, dem Differenzieren und Integrieren beschäftigen. Sie sind kein Muss, aber können bei Interesse an den auftretenden Berechnungen das Verständnis fördern.

  1. Genauer: Irrationale Zahlen lassen sich nicht exakt durch einen Bruch ganzer Zahlen darstellen.
  2. Funktionen wie diese e-Funktion werden in späteren Artikeln genauer behandelt.
  3. Das “ln” steht übrigens für logarithmus naturalis, also den “natürlichen Logarithmus”. Das weist auch darauf hin, dass er oft bei der Beschreibung natürlicher Prozesse, z. B. bei der Halbwertszeit von radioaktiven Atomen eine Rolle spielt.
  4. Die Definition ist -\lg \left( c \left( \ce{H^+} \right) \right), bezieht sich also auf die Protonenkonzentration (positiv geladener Wasserstoff), wobei durch das Minus das Vorzeichen wechselt.

Die Sprache des Universums, Teil I

Nachdem wir über das Periodensystem der Elemente einen Einstieg in die faszinierende Welt der Chemie gefunden haben, muss ich nun einen Exkurs einschieben. Galileo Galilei schrieb in Saggiatore über das Universum:

Es ist in der Sprache der Mathematik geschrieben, und deren Buchstaben sind Kreise, Dreiecke und andere geometrische Figuren, ohne die es dem Menschen unmöglich ist, ein einziges Wort davon zu verstehen; ohne diese irrt man in einem dunklen Labyrinth herum.

Auch in der Chemie ist vieles ohne mathematische Ausdrücke nur rudimentär behandelbar. Man kann zwar auch über qualitative Untersuchungen Erkenntnisse gewinnen, aber viele Bereiche bleiben dabei unklar und mysteriös. Zudem lassen sich aus quantitativen Daten durch Vergleiche leicht qualitative Aussagen treffen, während es umgekehrt problematisch ist.
Es ist korrekt, dass Stoffdaten und ähnliches auch ohne das Verständnis mathematischer Formeln erfass- und vergleichbar sind. Aber das Erkennen und Beschreiben von Gesetzmäßigkeiten besitzt gegenüber Eins-zu-eins-Vergleichen ein noch weitaus tiefer greifenderes Potential. Zudem sind einige der Stoffdaten bereits von sich aus mit mathematischen Feinheiten behaftet. So ist auch der in nicht wissenschaftlichen Kreisen bekannte pH-Wert eine logarithmische Einheit, d. h. eine Erhöhung um eins entspricht (in dem Fall) einer Verzehnfachung der damit ausgedrückten natürlichen Größe.
Der Grund für den Einsatz solcher Werkzeuge ist, dass man in der Chemie mit sehr großen und sehr kleinen Zahlen konfrontiert wird, zum Teil gleichzeitig. Wenn ein Atom nur ein Millionstel Millionstel eines Zentimeters groß ist, dann passen in einen Stecknadelkopf im Umkehrschluss Millionen Millionen Millionen Millionen Atome.1

Populärwissenschaftliche Bücher und meist auch Blogs schrecken meist vor dem Einsatz von Formeln zurück. Doch ich finde, dass eine offene Darstellung einen noch besseren Einblick in der Arbeitsweise von Naturwissenschaftlern ermöglicht. Ich werde mich in Blogartikeln, in denen Formeln vorkommen, bemühen, diese allgemein verständlich zu erklären und zudem den Text so zu strukturieren, dass er auch beim Überspringen der Berechnung inhaltlich nachvollziehbar ist – solange man die Ergebnisse als gegeben hinnimmt.
Für jene, die an den Berechnungen interessiert sind, sollen noch einige Artikel über die mathematischen Werkzeuge folgen, die verwendet werden. Dabei wird hauptsächlich Schulstoff bis zur 13. Klasse behandelt. Auch den weniger Interessierten empfehle ich, zumindest den Rest dieses Artikels und folgenden Teil II noch zu lesen, da sie die Darstellung der oben genannten sehr großen und sehr kleinen Zahlen behandeln. Wer sich mit Potenzen, Exponentialschreibweisen, Logarithmen und der e-Funktion bereits auskennt, kann die beiden Texte aber auch überspringen.

Vom Großen und Kleinen

Wenn man die verschiedenen Rechenarten vergleicht, so lassen sich einige als kompakte Formen von anderen darstellen. Die Multiplikation ist etwa eine Abkürzung, wenn mehrere (identische) Zahlen miteinander addiert werden.

    \[\overbrace{4+4+4+4+4+4+4+4}^8 = 4 \cdot 8 = 32\]


Dasselbe Prinzip lässt sich auf die Multiplikation übertragen. Dadurch erhält man die Potenzen, die für die Darstellung großer und kleiner Zahlen sehr nützlich sind.

    \[\overbrace{4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4}^8 = 4^8 = 65536\]

Die 4 im letzten Beispiel wird als Basis bezeichnet, die hochgestellte 8 als Exponent. Man spricht das Ergebnis als “vier hoch acht” aus.


Üblicherweise werden Potenzen zur Basis 10 angegeben, weil darauf unser alltägliches Zahlensystem fußt und es im Grunde nur eine Verschiebung der Kommastelle darstellt. Der Exponent gibt dann an, um wieviele Stellen das Komma nach rechts (positiver Exponent) oder nach links (negativer Exponent) verschoben wird. Dabei gibt es noch eine Besonderheit: Ist der Exponent 0, dann ist die beschriebene Zahl unabhängig von der Basis immer 1. Als einfaches Beispiel nehmen wir eine Million:

    \[1000000 = \overbrace{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}^6 = 1 \cdot 10^6\]

Die 1 im letzten Ergebnis könnte man auch weglassen, aber da an der Stelle später die eigentlich interessanten Zahlen stehen, habe ich sie hier bereits eingeführt.


Für Zahlen kleiner 1 ist die Rechnung schlechter verständlich, aber durch das Verschieben der Kommastelle genauso einfach durchführbar. Diesmal gezeigt an einem Millionstel:

    \begin{align*}0,000001 &= \overbrace{0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1}^6 \\ &= \overbrace{10^{-1} \cdot 10^{-1} \cdot10^{-1} \cdot 10^{-1} \cdot 10^{-1} \cdot 10^{-1}}^6 \\ &= 1 \cdot 10^{-6}\end{align*}

Hier wurde noch ein weiterer Schritt eingefügt, um die Umformung deutlicher zu machen.


Nun können damit auch Zahlen entziffert werden, die aus mehr als einer Eins und vielen Nullen bestehen. Nehmen wir etwa die Masse der Erde:

    \begin{align*}\SI{5,974e24}{\kilogram} &= 5,974 \, \cdot \, \overbrace{10 \cdot 10 \cdot \mathellipsis \cdot 10}^{24} \si{\kilogram} \\ &= \SI{5974000000000000000000000}{\kilogram}\end{align*}

Man beachte, dass es “nur” 21 Nullen sind. Die drei übrigen Stellen sind durch die Ziffern 9, 7 und 4 abgedeckt. Aus diesem Beispiel wird auch deutlich, warum man gern auf die Exponentialschreibweise zurückgreift. Sie verkürzt die Angabe, ohne dass Informationen verloren gehen.


Als Kleinstbeispiel sei noch das Plancksche Wirkungsquantum2 erwähnt:

    \[\SI{6,626e-34}{\joule\second} = \SI{0,0000000000000000000000000000000006626}{\joule\second}\]


Als letztes sei noch auf eine zusätzliche Schreibweise hingewiesen, die besonders bei Taschenrechnern und in Computerprogrammen auftritt. Vermutlich weil eine Schreibweise mit Hochstellung sich nicht immer anbietet, wird der Exponent dort mit einem E oder e angegeben. Dabei wird stillschweigend vorausgesetzt, dass die Basis 10 ist. Die Masse der Erde wäre dann 5,974E24 oder das Plancksche Wirkungsquantum 6,626E-34. Das E könnte in beiden Fällen auch als e geschrieben sein.

Damit wäre die Einführung der Zehnerpotenzen abgeschlossen. Ursprünglich wollte ich die weiteren wichtigen Themen bereits in diesem Artikel abarbeiten. Doch da der Artikel bereits eine akzeptable Länge besitzt und ich für die weiteren Inhalte noch etwas weiter ausholen muss, verschiebe ich es in einen zweiten Teil. Es folgen noch Logarithmen und die e-Funktion, die eine Potenz zu einer anderen Basis als der 10 darstellt und auch häufig in den Naturwissenschaften auftritt.

  1. Diese Rechnung wird an passender Stelle gezeigt.
  2. Dieser Wert wird zukünftig noch häufiger auftauchen.